Типы проекций географических карт. Картографические проекции
КАРТОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ И ЕЁ ВИДЫ
Обоснование выбора темы параграфа
Для своей работы мы выбрали тему «Картографические проекции». В настоящее время в учебниках географии данная тема практически не рассматривается, сведения о различных картографических проекциях можно увидеть только в атласе 6 класса. Мы считаем, что учащимся будет интересно знать, по каким принципам выбираются и строятся различные проекции географических карт. Вопросы о картографических проекциях часто затрагиваются в олимпиадных заданиях. Встречаются они и на ЕГЭ. Кроме того, карты атласов, как правило, построены в разных проекциях, что вызывает вопросы у учащихся.Картографическая проекция является основой для построения карт. Тем самым, знание основных принципов построения картографических проекций пригодится учащимся при выборе профессий летчика, моряка, геолога. В связи с этим, мы считаем целесообразным включить данный материал в учебник географии. Поскольку на уровне 6 класса математическая подготовка учащихся еще не такая сильная, на наш взгляд, имеет смысл изучать данную тему в начале 7го класса в разделе «Общие особенности природы Земли» при рассмотрении материала об источниках географической информации.
Картографические проекции
Географическую карту невозможно представить себе без системы параллелей и меридиан, формирующих её градусную сеть . Именно они позволяют нам точно определить местоположение объектов, именно по ним определяются стороны горизонта на карте. Даже расстояния по карте возможно вычислить с помощью градусной сети. Если посмотреть на карты в атласе, можно заметить, что градусная сеть на разных картах выглядит по-разному. На одних картах параллели и меридианы пересекаются под прямым углом и представляют собой сетку из параллельных и перпендикулярных прямых. На других картах меридианы веером расходятся из одной тоски, а параллели представлены в виде дуг. На карте Антарктиды меридианы похожи на снежинку, а параллели отходят от центра концентрическими кругами.
СОЗДАНИЕ КАРТ
Созданием картографических произведений занимается раздел картографии картоведение. Картоведение - это отрасль науки, производства и техники, охватывающая историю картографии и изучение, создание и использование картографических произведений. Создание карт выполняется с помощью картографических проекций - способа перехода от реальной, геометрически сложной земной поверхности к плоскости карты. Для этого сначала переходят к математически правильной фигурe эллипсоида или пули, а затем проектируют изображение на плоскость с помощью математических зависимостей.
Виды проекций
Что же собой представляет картографическая проекция?
Картографи́ческая прое́кция - математически определенный способ отображения поверхности эллипсоида на плоскости. Принятая при данной картографической проекции система изображения сети меридианов и параллелей называется картографической сеткой .
По способу построения картографической нормальной сетки все проекции делятся на конические, цилиндрические, условные, азимутальные, и др.
На конических проекциях при переносе координатных линий Земли на плоскость используется конус.После получения изображения на его поверхности, конус разрезают и разворачивают на плоскость.Для получения конической сетки необходимо точное совпадение оси конуса с осью Земли. На полученной карте параллели изображаются дугами окружностей, меридианы - прямыми линиями, исходящими из одной точки. В такой проекции можно изобразить северное или южное полушарие нашей планеты, Северную Америку или Евразию. В процессе изучения географии конические проекции чаще всего будут встречаться в ваших атласах при построении карты России.
Картографические проекции
На цилиндрических проекциях получение нормальной сетки осуществляется путем проектирования её на стенки цилиндра, ось которого совпадает с Земной осью. Затем его разворачивают на плоскость. Сетка получают из взаимно перпендикулярных прямых линий параллелей и меридианов.
На азимутальных проекциях нормальная сетка получается сразу на плоскости проекции. Для этого центр плоскости совмещается с полюсом Земли. В результате параллели имеют вид концентрических окружностей, радиус которых увеличивается по мере удаления от центра, а меридианы выглядят прямыми, пересекающимися в центре.
Условные проекции строятся по каким-либо заранее поставленным условиям. Эту категории нельзя отнести к другим видам проекции. Их число неограниченно.
Конечно, перенести изображение с поверхности шара на плоскость абсолютно точно невозможно. Если мы попробуем это сделать, неизбежно получим разрыв в изображении. Тем не менее, на карте мы этих разрывов не видим, да и при переносе изображения на поверхности цилиндра, конуса или плоскость изображение получается единым. В чем же дело?
Проецируя точки с поверхности Земного шара на поверхности будущей карты, мы получаем искаженные изображения. Если представить проектирование поверхности Земли на плоскость в виде тени, которая получится при подсвечивании объекта из центра Земли, то чем дальше объект от места непосредственного соприкосновения поверхности карты с шаром, тем больше изменится его изображение.
По характеру искажений все проекции делят на равноугольные, равновеликие и произвольные.
На равноугольных проекциях углы на местности между какими-либо направлениями равны углам на карте между теми же направлениями, то есть они(углы) не имеют искажений. Масштаб зависит только от положения точки и не зависит от направления. Угол на местности всегда равен углу на карте, линия, прямая на местности - прямая на карте. Бесконечно малые фигуры на карте в силу свойства равноугольности будут подобны тем же фигурам на Земле. Но линейные размеры на картах этой проекции будут иметь искажения.Представьте себе идеально круглое озеро.В каком бы месте полученной карты оно ни располагалось, его форма останется круглой, а вот размеры могут существенно измениться. Русло реки будет изгибаться так же, как изгибается на местности, но расстояние между его изгибами не будет соответствовать реальному.
Равновеликая проекция
На равновеликих проекциях не искажаются площади, сохраняется их пропорциональность. Но сильно искажены углы и формы. При перенесении его очертаний на карту в месте соприкосновения шара и поверхности будущей карты, его изображение будет таким же круглым. В то же время, чем дальше оно будет расположено от линии соприкосновения, тем больше будут вытягиваться его очертания, хотя площадь озера будет неизменной.
На произвольных проекциях искажены и углы, и площади, не сохранятся подобие фигур, но имеют какие-либо специальные свойства, не присущие другим проекциям, поэтому они наиболее употребляемые.
Карты создаются либо непосредственно в результате топографических съемок местности, либо на основе других карт, то есть, в конечном счете, опять-таки в результате съемки. В настоящее время, подавляющее большинство топографических карт создастся с помощью метода аэрофотосъемки, который позволяет в короткий срок получить топографическую карту огромной территории. С летящего самолета с помощью особых фотографических аппаратов делается много снимков (аэрофотоснимки) местности. Потом эти аэрофотоснимки обрабатывают на специальных приборах. Прежде чем стать картой, серия аэрофотоснимков проходит в производстве длинный и сложный путь.
Эллипсоид
Все мелкомасштабные общегеографические и специальные карты (в том числе и электронные GPS карты) создаются на основе других карт, только более крупного масштаба.
Термины
Градусная сеть - система меридианов и параллелей на географических картах и глобусах, служащая для отсчёта географических координат точек земной поверхности - долгот и широт.
Эллипсоид - замкнутая поверхность. Эллипсоид можно получить из поверхности шара, если шар сжать (растянуть) в произвольных отношениях в трех взаимно перпендикулярных направлениях.
Нормальная сетка - картографическая сетка для каждого класса проекций, изображение меридианов и параллелей которой имеет наиболее простой вид.
Концентрические окружности - окружности, имеющие общий центр и лежащие в одной плоскости.
Вопросы
1. Что такое картографическая проекция? 2. Какие виды картографических проекций вы знаете? 3. Какой раздел картографии занимается созданием проекций? 4. От чего зависит характер искажений на карте?
Поработайте дома
1.Заполните в тетради таблицу, отражающую характеристики различных картографических проекций.
2.Определите, в каких проекциях построены карты атласа. Какой вид проекции использовался чаще? Почему?
Задание для любознательных
Пользуясь дополнительными источниками информации, найдите, в какой проекции построена карта полушарий.
Информационные ресурсы для углубленного изучения данной темы
Литература по теме
А.М.Берлянт "Карта - второй язык географии:(очерки о картографии)".192с. МОСКВА. ПРОСВЕЩЕНИЕ. 1985
Мировые и экранные координаты
Проекции
При использовании любых графических устройств обычно используют проекции. Проекция задает способ отображения объектов на графическом устройстве. Мы будем рассматривать только проекции на плоскость.
Проецирование - отображение точек, заданных в системе координат с размерностью N, в точки в системе меньшей размерности.
Проекторы (проецирующие лучи) - отрезки прямых, идущие из центра проекции через каждую точку объекта до пересечения с плоскостью проекции (картинной плоскостью).
При отображении пространственных объектов на экране или на листе бумаги с помощью принтера необходимо знать координаты объектов. Мы рассмотрим две системы координат. Первая - мировые координаты, которые описывают истинное положение объектов в пространстве с заданной точностью. Вторая - система координат устройства отображения, в котором осуществляется вывод изображения объектов в заданной проекции. Назовем систему координат графического устройства экранными координатами (хотя это устройство и не обязательно должно быть подобно монитору компьютера).
Пусть мировые координаты будут трехмерными прямоугольными координатами. Где должен размещаться центр координат, и какими будут единицы измерения вдоль каждой оси, для нас сейчас не очень важно. Важно то, что для отображения мы будем знать любые числовые значения координат отображаемых объектов.
Для получения изображения в определенной проекции необходимо вычислить координаты проекции. Для синтеза изображения на плоскости экрана или бумаге используем двумерную систему координат. Основная задача - задать преобразования координат из мировых в экранные.
Изображение объектов на плоскости (экране дисплея) связано с геометрической операцией проектированием. В компьютерной графике используется несколько видов проектирования, но основных - два вида: параллельное и центральное.
Проектирующий пучок лучей направляется через объект на картинную плоскость, на которую в дальнейшем находят координаты пересечения лучей (или прямых) с этой плоскостью.
Рис. 2.14. Основные типы проекций
При центральном проектировании все прямые исходят из одной точки.
При параллельном - считается, что центр лучей (прямых) бесконечно удален, а прямые параллельны.
Каждый из этих основных классов разбивается еще на несколько подклассов в зависимости от взаимного расположения картинной плоскости и координатных осей.
Одноточечная проекция |
Рис. 2.15. Классификация плоских проекций
У параллельных проекций центр проекции расположен в бесконечности от плоскости проекции:
- ортографические (ортогональные),
- аксонометрические (прямоугольные аксонометрические) - проекторы перпендикулярны к плоскости проекции, расположенной под углом к главной оси,
- косоугольные (косоугольные аксонометрические) - плоскость проекции перпендикулярна к главной оси, проекторы расположены под углом к плоскости проекции.
У центральных проекций центр проекции находится на конечном расстоянии от плоскости проекции. Имеют место так называемые перспективные искажения.
Ортогональные проекции (основные виды)
Рис. 2.16. Ортогональные проекции
- Вид спереди, главный вид, фронтальная проекция, (на заднюю грань V),
- Вид сверху, план, горизонтальная проекция, (на нижнюю грань H),
- Вид слева, профильная проекция, (на правую грань W),
- Вид справа (на левую грань),
- Вид снизу (на верхнюю грань),
- Вид сзади (на переднюю грань).
Матрица ортогональной проекции на плоскость YZ вдоль оси Х имеет вид:
Если же плоскость параллельна, то эту матрицу надо умножить на матрицу сдвига, тогда:
где р - сдвиг по оси Х;
Для плоскости ZX вдоль оси Y
где q - сдвиг по оси Y;
Для плоскости XY вдоль оси Z:
где R - сдвиг по оси Z.
При аксонометрической проекции проектирующие прямые перпендикулярны плоскости картинки.
Изометрия - все три угла между нормалью картинки и координатными осями равны.
Диметрия - два угла между нормалью картинки и координатными осями равны.
Триметрия - нормальный вектор плоскости картинки образует с координатными осями различные углы.
Каждый из трех видов этих проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проектирование.
При повороте на угол β относительно оси У (ординат), на угол α вокруг оси Х (абсцисс) и последующем проектировании оси Z (аппликат) возникает матрица
Изометрическая проекция
Рис. 2.17. Изометрические проекции
Диметрическая проекция
Рис. 2.18. Диметрические проекции
Косоугольные проекции
Классический пример параллельной косоугольной проекции - кабинетная проекция (рис. 2. 26). Эта проекция часто используется в математической литературе для черчения объемных форм. Ось у изображается наклоненной под углом 45 градусов. Вдоль оси у масштаб 0. 5, вдоль других осей - масштаб 1. Запишем формулы вычисления координат плоскости проецирования
Здесь, как и раньше, ось Υ пр направлена вниз.
Для косоугольных параллельных проекций лучи проецирования не перпендикулярны плоскости проецирования.
Рис. 2.19. Косоугольные проекции
Теперь относительно центральной проекции. Поскольку для нее лучи проецирования не параллельны, то будем считать нормальной такую центральную проекцию, главная ось которой перпендикулярна плоскости проецирования. Для центральной косоугольной проекции главная ось не перпендикулярна плоскости проецирования.
Рассмотрим пример центральной косоугольной проекции, которая показывает параллельными линиями все вертикальные линии изображаемых объектов. Расположим плоскость проецирования вертикально, ракурс показа зададим углами а, β и положением точки схода (рис. 2. 21).
|
Рис. 2.21. Вертикальная центральная косоугольная проекция: а – расположение плоскости проецирования, б – вид с левого торца плокости проецирования
Будем считать, что ось Ζ видовых координат располагается перпендикулярно плоскости проецирования. Центр видовых координат - в точке (хс , ус, zc). Запишем соответствующее видовое преобразование:
Как и для нормальной центральной проекции, точка схода лучей проецирования располагается на оси Ζ на расстоянии Ζ k от центра видовых координат. Необходимо учесть наклон главной оси косоугольной проекции. Для этого достаточно отнять от Υ пр длину отрезка 0-0" (рис. 2.21). Эта длина равняется (Ζ k - Ζ пл ) ctgβ. Теперь запишем результат - формулы вычисления координат косоугольной вертикальной проекции
где Пх и Пу - это функции проецирования для нормальной проекции.
Следует отметить, что для такой проекции нельзя сделать вид сверху (β = 0), поскольку здесь сtgP = ∞.
Свойство рассмотренной вертикальной косоугольной проекции, заключающееся в сохранении параллельности вертикальных линий, иногда полезно, например, при изображении домов в архитектурных компьютерных системах. Сравните рис. 2. 22 (верх) и рис. 2.22 (низ). На нижнем рисунке вертикали изображаются вертикалями - дома не "разваливаются".
Рис. 2.21. Сравнение проекций
Кабинетная проекция (аксонометрическая косоугольная фронтальная диметрическая проекция)
Рис. 2.23.Кабинетная проекция
Свободная проекция (аксонометрическая косоугольная горизонтальная изометрическая проекция)
Рис. 2.24.Свободная проекция
Центральная проекция
Центральные проекции параллельных прямых, не параллельных плоскости проекции, сходятся в точкесхода .
В зависимости от числа координатных осей, которые пересекает плоскость проекции, различаются одно, двух и трехточечные центральные проекции.
Рис. 2.25. Центральная проекция
Рассмотрим пример перспективной (центрально) проекции для вертикального расположения камеры, когда α = β = 0. Такую проекцию можно себе представить как изображение на стекле, через которое смотрит наблюдатель, расположенный сверху в точке (х, у, z ) = (0, 0, z k). Здесь плоскость проецирования параллельна плоскости (х 0 у), как показано на рис. 2. 26.
Для произвольной точки пространства (Р), исходя из подобия треугольников, запишем такие пропорции:
X пр /(z k – z пл) = x/(z k – z)
Y пр /(z k – z пл) = y/(z k – z)
Найдем координаты проекции, учитывая также координату Ζпр:
Запишем такие преобразования координат в функциональном виде
где Π - функция перспективного преобразования координат.
Рис. 2.26.Перпективная проекция
В матричной форме преобразования координат можно записать так:
Обратите внимание на то, что здесь коэффициенты матрицы зависят от координаты z (в знаменателе дроби). Это означает, что преобразование координат - нелинейное (а точнее, дробно-линейное), оно относится к классу проективных преобразований.
Мы получили формулы вычисления координат проекции для случая, когда точка схода лучей находится на оси z . Теперь рассмотрим общий случай. Введем видовую систему координат {X, Υ, Ζ), произвольно расположенную в трехмерном пространстве (х, у, z ). Пусть точка схода находится на оси Ζ видовой системы координат, а направление обзора - вдоль оси Ζ противоположно ее направлению. Будем считать, что преобразование в видовые координаты описывается трехмерным аффинным преобразованием
После вычисления координат (X, Y, Z) можно вычислить координаты в плоскости проецирования в соответствии с формулами, уже рассмотренными нами ранее. Поскольку точка схода находится на оси Ζ видовых координат, то
Последовательность преобразования координат можно описать так:
Такое преобразование координат позволяет моделировать расположения камеры в любой точке пространства и отображать в центре плоскости проецирования любые объекты обзора.
Рис. 2.27. Центральная проекция точки P 0 в плоскость Z = d
Глава 3. Растровая графика. Базовые растровые алгоритмы
Картографические проекции
отображения всей поверхности земного эллипсоида (См. Земной эллипсоид) или какую-либо её части на плоскость, получаемые в основном с целью построения карты. Масштаб.
К. п. строятся в определённом масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в М
раз, например в 10 000 000 раз, получают его геометрическую модель - Глобус , изображение которого уже в натуральную величину на плоскости даёт карту поверхности этого эллипсоида. Величина 1: М
(в примере 1: 10 000 000) определяет главный, или общий, масштаб карты. Т. к. поверхности эллипсоида и шара не могут быть развёрнуты на плоскость без разрывов и складок (они не принадлежат к классу развёртывающихся поверхностей (См. Развёртывающаяся поверхность)), любой К. п. присущи искажения длин линий, углов и т.п., свойственные всякой карте. Основной характеристикой К. п. в любой её точке является частный масштаб μ. Это - величина, обратная отношению бесконечно малого отрезка ds
на земном эллипсоиде к его изображению dσ
на плоскости: μ min ≤ μ ≤ μ max , и равенство здесь возможно лишь в отдельных точках или вдоль некоторых линий на карте. Т. о., главный масштаб карты характеризует её только в общих чертах, в некотором осреднённом виде. Отношение μ/М
называют относительным масштабом, или увеличением длины, разность М = 1. Общие сведения.
Теория К. п. - Математическая картография -
имеет своей целью изучение всех видов искажений отображений поверхности земного эллипсоида на плоскость и разработку методов построения таких проекций, в которых искажения имели бы или наименьшие (в каком-либо смысле) значения или заранее заданное распределение. Исходя из нужд картографии (См. Картография), в теории К. п. рассматривают отображения поверхности земного эллипсоида на плоскость. Т. к. земной эллипсоид имеет малое сжатие, и его поверхность незначительно отступает от сферы, а также в связи с тем, что К. п. необходимы для составления карт в средних и мелких масштабах (М
> 1 000 000), то часто ограничиваются рассмотрением отображений на плоскость сферы некоторого радиуса R
, отклонениями которой от эллипсоида можно пренебречь или каким-либо способом учесть. Поэтому далее имеются в виду отображения на плоскость хОу
сферы, отнесённой к географическим координатам φ (широта) и λ (долгота). Уравнения любой К. п. имеют вид x = f 1 (φ, λ), y = f 2 (φ, λ)
, (1) где f
1 и f
2 - функции, удовлетворяющие некоторым общим условиям. Изображения меридианов λ = const
и параллелей φ = const
в данной К. п. образуют картографическую сетку. К. п. может быть определена также двумя уравнениями, в которых фигурируют не прямоугольные координаты х
, у
плоскости, а какие-либо иные. Некоторые К. п. [например, Перспективные проекции (в частности, ортографические, рис. 2
) перспективно-цилиндрические (рис. 7
) и др.] можно определить геометрическими построениями. К. п. определяют также правилом построения соответствующей ей картографической сетки или такими её характеристическими свойствами, из которых могут быть получены уравнения вида (1), полностью определяющие проекцию. Краткие исторические сведения.
Развитие теории К. п., как и всей картографии, тесно связано с развитием геодезии, астрономии, географии, математики. Научные основы картографии были заложены в Древней Греции (6-1 вв. до н. э.). Древнейшей К. п. считается Гномоническая проекция , примененная Фалесом Милетским к построению карт звёздного неба. После установления в 3 в. до н. э. шарообразности Земли К. п. стали изобретаться и использоваться при составлении географических карт (Гиппарх ,
Птолемей и др.). Значительный подъём картографии в 16 в., вызванный Великими географическими открытиями, привёл к созданию ряда новых проекций; одна из них, предложенная Г. Меркатор ом,
используется и в настоящее время (см. Меркатора проекция). В 17-18 вв., когда широкая организация топографических съёмок стала поставлять достоверный материал для составления карт на значительной территории, К. п. разрабатывались как основа для топографических карт (французский картограф Р. Бонн, Дж. Д. Кассини),
а также выполнялись исследования отдельных наиболее важных групп К. п. (И. Ламберт , Л. Эйлер , Ж. Лагранж
и др.). Развитие военной картографии и дальнейшее увеличение объёма топографических работ в 19 в. потребовали обеспечения математической основы крупномасштабных карт и введения системы прямоугольных координат на базе, более подходящей К. п. Это привело К. Гаусс а к разработке фундаментальной геодезической проекции (См. Геодезические проекции). Наконец, в середине 19 в. А. Тиссо (Франция) дал общую теорию искажений К. п. Развитие теории К. п. в России было тесно связано с запросами практики и дало много оригинальных результатов (Л. Эйлер, Ф. И. Шуберт ,
П. Л. Чебышев , Д. А. Граве и др.). В трудах советских картографов В. В. Каврайского (См. Каврайский), Н. А. Урмаев а и др. разработаны новые группы К. и., отдельные их варианты (до стадии практического использования), важные вопросы общей теории К. п., классификации их и др. Теория искажений.
Искажения в бесконечно малой области около какой-либо точки проекции подчиняются некоторым общим законам. Во всякой точке карты в проекции, не являющейся равноугольной (см. ниже), существуют два таких взаимно перпендикулярных направления, которым на отображаемой поверхности соответствуют также взаимно перпендикулярные направления, это - так называемые главные направления отображения. Масштабы по этим направлениям (главные масштабы) имеют экстремальные значения: μ max = а
и μ min = b
. Если в какой-либо проекции меридианы и параллели на карте пересекаются под прямым углом, то их направления и есть главные для данной проекции. Искажение длины в данной точке проекции наглядно представляет эллипс искажений, подобный и подобно расположенный изображению бесконечно малой окружности, описанной вокруг соответствующей точки отображаемой поверхности. Полудиаметры этого эллипса численно равны частным масштабам в данной точке в соответствующих направлениях, полуоси эллипса равны экстремальным масштабам, а направления их - главные. Связь между элементами эллипса искажений, искажениями К. п. и частными производными функций (1) устанавливается основными формулами теории искажений. Классификация картографических проекций по положению полюса используемых сферических координат.
Полюсы сферы суть особые точки географической координации, хотя сфера в этих точках не имеет каких-либо особенностей. Значит, при картографировании областей, содержащих географические полюсы, желательно иногда применять не географические координаты, а другие, в которых полюсы оказываются обыкновенными точками координации. Поэтому на сфере используют сферические координаты, координатные линии которых, так называемые вертикалы (условная долгота на них а = const
) и альмукантараты (где полярные расстояния z = const
), аналогичны географическим меридианам и параллелям, но их полюс Z 0
не совпадает с географическим полюсом P 0
(рис. 1
). Переход от географических координат φ
, λ
любой точки сферы к её сферическим координатам z
, a
при заданном положении полюса Z 0 (φ 0 , λ 0)
осуществляется по формулам сферической тригонометрии. Всякая К. п., данная уравнениями (1), называется нормальной, или прямой (φ 0 = π/2
). Если та же самая проекция сферы вычисляется по тем же формулам (1), в которых вместо φ
, λ
фигурируют z
, a
, то эта проекция называется поперечной при φ 0 = 0
, λ 0
и косой, если 0 . Применение косых и поперечных проекций приводит к уменьшению искажений. На рис. 2
показана нормальная (а), поперечная (б) и косая (в) ортографические проекции (См. Ортографическая проекция) сферы (поверхности шара).
Классификация картографических проекций по характеру искажений.
В равноугольных (конформных) К. п. масштаб зависит только от положения точки и не зависит от направления. Эллипсы искажений вырождаются в окружности. Примеры - проекция Меркатор, Стереографическая проекция .
В равновеликих (эквивалентных) К. п. сохраняются площади; точнее, площади фигур на картах, составленных в таких проекциях, пропорциональны площадям соответствующих фигур в натуре, причём коэффициент пропорциональности - величина, обратная квадрату главного масштаба карты. Эллипсы искажений всегда имеют одинаковую площадь, различаясь формой и ориентировкой. Произвольные К. п. не относятся ни к равноугольным, ни к равновеликим. Из них выделяют равнопромежуточные, в которых один из главных масштабов равен единице, и ортодромические, в которых большие круги шара (ортодромы) изображаются прямыми. При изображении сферы на плоскости свойства равноугольности, равновеликости, равнопромежуточности и ортодромичности несовместимы. Для показа искажений в разных местах изображаемой области применяют: а) эллипсы искажений, построенные в разных местах сетки или эскиза карты (рис. 3
); б) изоколы, т. е. линии равного значения искажений (на рис. 8в
см. изоколы наибольшего искажения углов со и изоколы масштаба площадей р
); в) изображения в некоторых местах карты некоторых сферических линий, обычно ортодромий (О) и локсодромий (Л), см. рис. 3а
, 3б
и др. Классификация нормальных картографических проекций по виду изображений меридианов и параллелей,
являющаяся результатом исторического развития теории К. п., объемлет большинство известных проекций. В ней сохранились наименования, связанные с геометрическим методом получения проекций, однако рассматриваемые их группы теперь определяют аналитически. Цилиндрические проекции (рис. 3
) - проекции, в которых меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели - прямыми, перпендикулярными к изображениям меридианов. Выгодны для изображения территорий, вытянутых вдоль экватора или какие-либо параллели. В навигации используется проекция Меркатора - равноугольная цилиндрическая проекция. Проекция Гаусса - Крюгера - равноугольная поперечно-цилиндрическая К. п. - применяется при составлении топографических карт и обработке триангуляций.
Азимутальные проекции (рис. 5
) - проекции, в которых параллели - концентрические окружности, меридианы - их радиусы, при этом углы между последними равны соответствующим разностям долгот. Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции. Псевдоконические проекции (рис. 6
) - проекции, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, средний меридиан - прямой линией, остальные меридианы - кривыми. Часто применяется равновеликая псевдоконическая проекция Бонна; в ней с 1847 составлялась трёхвёрстная (1: 126 000) карта Европейской части России. Псевдоцилиндрические проекции (рис. 8
) - проекции, в которых параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан - прямой линией, перпендикулярной этим прямым и являющейся осью симметрии проекций, остальные меридианы - кривыми. Поликонические проекции (рис. 9
) - проекции, в которых параллели изображаются окружностями с центрами, расположенными на одной прямой, изображающей средний меридиан. При построении конкретных поликонических проекций ставятся дополнительные условия. Одна из поликонических проекций рекомендована для международной (1: 1 000 000) карты. Существует много проекций, не относящихся к указанным видам. Цилиндрические, конические и азимутальные проекции, называемые простейшими, часто относят к круговым проекциям в широком смысле, выделяя из них круговые проекции в узком смысле - проекции, в которых все меридианы и параллели изображаются окружностями, например конформные проекции Лагранжа, проекция Гринтена и др. Использование и выбор картографических проекций
зависят главным образом от назначения карты и её масштаба, которыми часто обусловливается характер допускаемых искажений в избираемой К. п. Карты крупных и средних масштабов, предназначенные для решения метрических задач, обычно составляют в равноугольных проекциях, а карты мелких масштабов, используемые для общих обозрений и определения соотношения площадей каких-либо территорий - в равновеликих. При этом возможно некоторое нарушение определяющих условий этих проекций (ω ≡ 0
или р ≡ 1
), не приводящее к ощутимым погрешностям, т. е. допустим выбор произвольных проекций, из которых чаще применяют проекции равнопромежуточные по меридианам. К последним прибегают и тогда, когда назначением карты вообще не предусмотрено сохранение углов или площадей. При выборе К. п. начинают с простейших, затем переходят к более сложным проекциям, даже, возможно, модифицируя их. Если ни одна из известных К. п. не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к составляемой карте со стороны её назначения, то изыскивают новую, наиболее подходящую К. п., пытаясь (насколько это возможно) уменьшить искажения в ней. Проблема построения наивыгоднейших К. п., в которых искажения в каком-либо смысле сведены до минимума, полностью ещё не решена. К. п. используются также в навигации, астрономии, кристаллографии и др.; их изыскивают для целей картографирования Луны, планет и др. небесных тел. Преобразование проекций.
Рассматривая две К. п., заданные соответствующими системами уравнений: x = f 1 (φ, λ)
, y = f 2 (φ, λ)
и X = g 1 (φ, λ)
, Y = g 2 (φ, λ)
, можно, исключая из этих уравнении φ и λ, установить переход от одной из них к другой: Х = F 1 (x, у)
, Y = F 2 (x, у)
. Эти формулы при конкретизации вида функций F
1 , F
2 , во-первых, дают общий метод получения так называемых производных проекций; во-вторых, составляют теоретическую основу всевозможных способов технических приёмов составления карт (см. Географические карты). Например, аффинные и дробно-линейные преобразования осуществляются при помощи картографических трансформаторов (См. Картографический трансформатор).
Однако более общие преобразования требуют применения новой, в частности электронной, техники. Задача создания совершенных трансформаторов К. п. - актуальная проблема современной картографии. Лит.:
Витковский В., Картография. (Теория картографических проекций), СПБ. 1907; Каврайский В. В., Математическая картография, М. - Л., 1934; его же, Избр. труды, т. 2, в. 1-3, [М.], 1958-60; Урмаев Н. А., Математическая картография, М., 1941; его же, Методы изыскания новых картографических проекций, М., 1947; Граур А. В., Математическая картография, 2 изд., Л., 1956; Гинзбург Г. А., Картографические проекции, М., 1951; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической картографии, М., 1968. Г. А. Мещеряков.
2. Шар и его ортографические проекции. 3а. Цилиндрические проекции. Равноугольная Меркатора. 3б. Цилиндрические проекции. Равнопромежуточная (прямоугольная). 3в. Цилиндрические проекции. Равновеликая (изоцилиндрическая). 4а. Конические проекции. Равноугольная. 4б. Конические проекции. Равнопромежуточная. 4в. Конические проекции. Равновеликая. Рис. 5а. Азимутальные проекции. Равноугольная (стереографическая) слева - поперечная, справа - косая. Рис. 5б. Азимутальные проекции. Равнопромежуточная (слева - поперечная, справа - косая). Рис. 5в. Азимутальные проекции. Равновеликая (слева - поперечная, справа - косая). Рис. 8а. Псевдоцилиндрические проекции. Равновеликая проекция Мольвейде. Рис. 8б. Псевдоцилиндрические проекции. Равновеликая синусоидальная проекция В. В. Каврайского. Рис. 8в. Псевдоцилиндрические проекции. Произвольная проекция ЦНИИГАиК. Рис. 8г. Псевдоцилиндрические проекции. Проекция БСАМ. Рис. 9а. Поликонические проекции. Простая. Рис. 9б. Поликонические проекции. Произвольная проекция Г. А. Гинзбурга. Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия
.
1969-1978
.
Смотреть что такое "Картографические проекции" в других словарях:
Математические способы изображения на плоскости поверхности земного эллипсоида или шара. Картографические проекции определяют зависимость между координатами точек на поверхности земного эллипсоида и на плоскости. Из за невозможности развернуть… … Большой Энциклопедический словарь
КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ, системные методы нанесения меридианов и параллелей Земли на плоскую поверхность. Только на глобусе можно достоверно представить территории и формы. На плоских картах больших территорий искажения неизбежны. Проекции это… … Научно-технический энциклопедический словарь
При переходе от физической поверхности Земли к ее отображению на плоскости (на карте) выполняют две операции: проектирование земной поверхности с ее сложным рельефом на поверхность земного эллипсоида, размеры которого установлены посредством геодезических и астрономических измерений, и изображение поверхности эллипсоида на плоскости посредством одной из картографических проекций.
Картографическая проекция - определенный способ отображения поверхности эллипсоида на плоскости.
Отображение земной поверхности на плоскости производится различными способами. Самый простой из них - перспективный
. Суть его заключается в проектировании изображения с поверхности модели Земли (глобуса, эллипсоида) на поверхность цилиндра или конуса с последующим разворотом в плоскость (цилиндрические, конические) или непосредственным проектированием сферического изображения на плоскость (азимутальные).
Одним из простых способов понимания того, как картографические проекции изменяют пространственные свойства, является визуализация проекции света сквозь Землю на поверхность, которая называется проекционной поверхностью.
Представьте себе, что поверхность Земли прозрачна, и на ней нанесена картографическая сетка. Оберните кусок бумаги вокруг Земли. Источник света в центре Земли отбросит тени от сетки координат на кусок бумаги. Вы можете теперь развернуть бумагу и положить ее на плоскость. Форма координатной сетки на плоской поверхности бумаги очень отличается от ее формы на поверхности Земли (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Картографическая сетка географической системы координат, спроектированная на цилиндрическую поверхность
Проекция карты исказила картографическую сетку; объекты, расположенные у полюса, вытянуты.
Построение перспективным способом не требует использования законов математики. Обратите внимание на то, что в современной картографии картографические сетки строят аналитическим
(математическим) способом. Его суть заключается в расчете положения узловых точек (точек пересечения меридианов и параллелей) картографической сетки. Расчет выполняется на основе решения системы уравнений, которые связывают географическую широту и географическую долготу узловых точек (φ, λ
) с их прямоугольными координатами (х, у
) на плоскости. Эта зависимость может быть выражена двумя уравнениями вида:
у = f 2 (φ, λ), (5.2)
называемыми уравнениями картографических проекций. Они позволяют вычислять прямоугольные координаты х, у изображаемой точки по географическим координатам φ и λ . Число возможных функциональных зависимостей и, следовательно, проекций неограниченно. Необходимо лишь, чтобы каждая точка φ , λ эллипсоида изображалась на плоскости однозначно соответствующей точкой х, у и чтобы изображение было непрерывным.
5.2. ИСКАЖЕНИЯ
Разложить сфероид на плоскость нисколько не легче, чем расплющить кусок арбузной кожуры. При переходе на плоскость, как правило, искажаются углы, площади, формы и длины линий, поэтому для конкретных целей можно создать проекции, которые значительно уменьшат какой-либо один вид искажений, например, площадей. Картографическим искажением называют нарушение геометрических свойств участков земной поверхности и расположенных на них объектов при их изображении на плоскости
.
Искажения всех видов тесно связаны между собой. Они находятся в такой зависимости, что уменьшение одного вида искажения сразу же влечет увеличение другого. При уменьшении искажений площадей увеличиваются искажения углов и т.д. Рис. 5.2 демонстрирует, как трехмерные объекты сжимаются для того, чтобы их можно было поместить на плоскую поверхность.
Рис. 5.2. Проектирование сферической поверхности на поверхность проекции
На различных картах искажения могут быть различных размеров: на крупномасштабных они практически неощутимы, но на мелкомасштабных они бывают очень велики.
В середине XIX века французским ученым Николя Аугустом Тиссо была дана общая теория искажений. В своей работе он предложил использовать специальные эллипсы искажений, которые представляют собой бесконечно малые эллипсы в любой точке карты, являющиеся отображением бесконечно малых окружностей в соответствующей точке на поверхности земного эллипсоида или шара.
Эллипс становится окружностью в точке нулевых искажений. Изменение формы эллипса отражает степень искажения углов и расстояний, а размера - степень искажения площадей.
Рис. 5.3. Эллипс на карте (а ) и соответствующий ему круг на глобусе (б )
Эллипс искажений на карте может занимать различное положение относительно меридиана, проходящего через его центр. Ориентировка эллипса искажений на карте обычно определяется азимутом его большой полуоси
. Угол между северным направлением меридиана, проходящего через центр эллипса искажений, и его ближайшей большой полуосью называется углом ориентировки эллипса искажений.
На рис. 5.3, а
этот угол обозначен буквой А
0
, а соответствующий ему угол на глобусе α
0
(рис. 5.3, б
).
Азимуты любого направления на карте и на глобусе всегда отсчитываются от северного направления меридиана по ходу часовой стрелки и могут иметь значения от 0 до 360°.
Любое произвольное направление (ОК
) на карте или на глобусе (О
0
К
0
) может быть определено или азимутом данного направления (А
- на карте, α
- на глобусе) или углом между ближайшей к северному направлению меридиана большой полуосью и данным направлением (v
- на карте, u
- на глобусе).
5.2.1. Искажения длин
Искажение длин - базовое искажение. Остальные искажения из него логически вытекают. Искажение длин означает непостоянство масштаба плоского изображения, что проявляется в изменении масштаба от точки к точке, и даже в одной и той же точке в зависимости от направления.
Это означает, что на карте присутствует 2 вида масштаба:
- главный масштаб (М);
- частный масштаб .
Главным масштабом
карты называют степень общего уменьшения земного шара до определенных размеров глобуса, с которого земная поверхность переносится на плоскость. Он позволяет судить об уменьшении длин отрезков при перенесении их с земного шара на глобус. Главный масштаб записывается под южной рамкой карты, но это не значит, что отрезок измеренный в любом месте карты будет соответствовать расстоянию на земной поверхности.
Масштаб в данной точке карты по данному направлению называют частным
. Он определяется как отношение бесконечно малого отрезка на карте dl К
к соответствующему ему отрезку на поверхности эллипсоида dl З
. Отношение частного масштаба к главному, обозначаемое через μ
, характеризует искажение длин
(5.3)
Для оценки отклонения частного масштаба от главного пользуются понятием увеличения масштаба (С ), определяемого отношением
(5.4)
Из формулы (5.4) следует, что:
- при С = 1 частный масштаб равен главному масштабу (µ = M ), т. е. искажения длин в данной точке карты по дан ному направлению отсутствуют;
- при С > 1 частный масштаб крупнее главного (µ > M );
- при С < 1 частный масштаб мельче главного (µ < М ).
Например, если при главном масштабе карты 1: 1 000 000 увеличение масштаба С
равно 1,2, то µ
= 1,2/1 000 000 = 1/833 333, т. е. одному сантиметру на карте соответствует примерно 8,3 км
на местности. Частный масштаб крупнее главного (величина дроби больше).
При изображении поверхности глобуса на плоскости частные масштабы численно будут больше или меньше главного масштаба. Если принять главный масштаб равным единице (М
= 1), то частные масштабы численно будут больше или меньше единицы. В этом случае под частным масштабом, численно равным увеличению масштаба, следует понимать отношение бесконечно малого отрезка в данной точке карты по данному направлению к соответствующему бесконечно малому отрезку на глобусе:
(5.5)
Отклонение частного масштаба (µ ) от единицы определяет искажение длины в данной точке карты по данному направлению (V ):
V = µ - 1 (5.6)
Часто искажение длины выражают в процентах к единице, т. е. к главному масштабу, и называют относительным искажением длины :
q = 100(µ - 1) = V×100 (5.7)
Например, при µ
= 1,2 искажение длины V
= +0,2 или относительное искажение длины V
= +20%. Это означает, что отрезок длиной 1 см
, взятый на глобусе, изобразится на карте отрезком длиной 1,2 см
.
Судить о наличии на карте искажения длин удобно путем сравнения величины отрезков меридианов между соседними параллелями. Если они повсеместно равны, то искажения длин по меридианам нет, если такого равенства нет (рис. 5.5 отрезки АВ
и CD
), то искажение длин линий имеется.
Рис. 5.4. Часть карты восточного полушария с показом картографических искажений
Если карта отображает такую большую территорию, что на ней показаны и экватор 0º и параллель 60° широты, то нетрудно по ней установить, имеется ли искажение длин вдоль параллелей. Для этого достаточно сравнить длину отрезков экватора и параллели с широтой 60° между соседними меридианами. Известно, что параллель 60° широты в два раза короче экватора. Если таково же соотношение указанных отрезков на карте, то искажения длин по параллелям нет; в противном случае оно имеется.
Наибольший показатель искажения длин у данной точки (большая полуось эллипса искажений) обозначают латинской буквой а
, а самый меньший (малая полуось эллипса искажений) - b
. Взаимно перпендикулярные направления, по которым действуют наибольший и наименьший показатели искажения длин, называют главными направлениями
.
Для оценки различных искажений на картах из всех частных масштабов наибольшее значение имеют частные масштабы по двум направлениям: по меридианам и по параллелям. Частный масштаб по меридиану
принято обозначать буквой m
, а частный масштаб по параллели
- буквой n.
В пределах мелкомасштабных карт сравнительно небольших территорий (например, Украины) отклонения масштабов длин от указанного на карте масштаба невелики. Ошибки при измерении длин в этом случае не превышают 2 - 2,5% от измеряемой длины, и ими в работе со школьными картами можно пренебречь. К некоторым картам для приближенных измерений прилагается измерительная масштабная линейка, сопровождаемая пояснительным текстом.
На морских картах
, построенных в проекции Меркатора и на которых локсодромия изображается прямой линией, не дается специального линейного масштаба. Его роль выполняют восточная и западная рамки карты, представляющие собой меридианы, разбитые на деления через 1′ по широте.
В морской навигации расстояния принято оценивать в морских милях. Морская миля
- это средняя длина дуги меридиана в 1′ по широте. Она заключает в себе 1852 м
.
Таким образом, рамки морской карты фактически разбиты на отрезки равные одной морской миле. Определив по прямой расстояние между двумя точками на карте в минутах меридиана, получают действительное расстояние в морских милях по локсодромии.
Рис 5.5. Измерение расстояний по морской карте.
5.2.2. Искажения углов
Искажения углов логически вытекают из искажения длин. За характеристику искажений углов на карте принимают разность углов между направлениями на карте и соответствующими направлениями на поверхности эллипсоида.
За показатель искажения углов
между линиями картографической сетки принимают величину отклонения их от 90° и обозначают его греческой буквой ε
(эпсилон).
ε = Ө - 90°,
(5.8)
где в Ө
(тэта) - измеренный на карте угол между меридианом и параллелью.
На рисунке 5.4 обозначено, что угол Ө
равен 115°, следовательно, ε = 25°.
В точке, где угол пересечения меридиана и параллели остается на карте прямым, углы между другими направлениями могут быть измененными на карте, поскольку в каждой данной точке величина искажения углов может изменяться с переменой направления.
За общий показатель искажения углов ω (омега) принимают наибольшее искажение угла в данной точке, равное разности его величины на карте и на поверхности земного эллипсоида (шара). При известны
х показателях а
и b
величину ω
определяют по формуле:
(5.9)
5.2.3. Искажения площадей
Искажения площадей логически вытекают из искажения длин. За характеристику искажения площадей принимают отклонение площади эллипса искажений от исходной площади на эллипсоиде .
Простой способ выявления искаженности этого вида состоит в сравнении площадей клеток картографической сетки, ограниченных одноименными параллелями: при равенстве площадей клеток искажения нет. Это имеет место, в частности, на карте полушария (рис. 4,4), на которой заштрихованные клетки различаются по форме, но имеют одинаковую площадь.
Показатель искажения площадей
(р
) вычисляют как произведение наибольшего и наименьшего показателей искажения длин в данном месте карты
p = а×b
(5.10)
Главные направления в данной точке карты могут совпадать с линиями картографической сетки, но могут с ними не совпадать. Тогда показатели а
и b
по известным m
и n
вычисляют по формулам:
(5.11)
(5.12)
Входящий в уравнения показатель искажения р узнают в этом случае по произведению:
p = m×n×cos ε , (5.13)Где ε (эпсилон) - величина отклонения угла пересечения картографической сетки от 9 0°.
5.2.4. Искажения форм
Искажение форм
состоит в том, что форма участка или занятой объектом территории на карте отлична от их формы на уровенной поверхности Земли. Наличие искажения этого вида на карте можно установить путем сопоставления формы клеток картографической сетки, расположенных на одной широте: если они одинаковы, то искажения нет. На рисунке 5.4 две заштрихованные клетки различием формы свидетельствуют о наличии искажения данного вида. Можно также выявить искаженность формы определенного объекта (материка, острова, моря) по соотношению его ширины и длины на анализируемой карте и на глобусе.
Показатель искажения форм (k)
зависит от различия наибольшего (а
) и наименьшего (b
) показателей искажения длин в данном месте карты и выражается формулой:
(5.14)
При исследовании и при выборе картографической проекции используют изоколы - линии равных искажений. Они могут наноситься на карту в виде пунктирных линий с целью показа величин искажений.
Рис. 5.6. Изоколы наибольших искажений углов
5.3. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ ПО ХАРАКТЕРУ ИСКАЖЕНИЙ
Для различных целей создаются различные по характеру искажений проекции. Характер искажений проекции определяется отсутствием в ней определенных искажений
(углов, длин, площадей). В зависимости от этого все картографические проекции по характеру искажений подразделяются на четыре группы:
— равноугольные (конформные);
— равнопромежуточные (эквидистантные);
—равновеликие (эквивалентные);
— произвольные.
5.3.1. Равноугольные проекции
Равноугольными
называются такие проекции, в которых направления и углы изображаются без искажений. Углы, измеренные на картах равноугольных проекций, равны соответствующим углам на земной поверхности.
Бесконечно малая окружность в этих проекциях всегда остается окружностью.
В равноугольных проекциях масштабы длин в любой точке по всем направлениям одинаковы, поэтому у них нет искажения формы бесконечно малых фигур и нет искажения углов (рис. 5.7, Б). Это общее свойство равноугольных проекций выражает формула ω = 0°. Но формы реальных (конечных) географических объектов, занимающих целые участки на карте, искажаются (рис. 5.8, а). У равноугольных проекций наблюдаются особенно большие искажения площадей (что отчетливо демонстрируют эллипсы искажений).
Рис. 5.7. Вид эллипсов искажений в проекциях равновеликих —- А, равноугольных — Б , произвольных — В , в том числе, равнопромежуточных по меридиану — Г и равнопромежуточных по параллели — Д. На схемах показано искажение угла 45°.
Эти проекции используются для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту, поэтому их всегда используют на топографических и навигационных картах. Недостатком равноугольных проекций является то, что в них сильно искажаются площади (рис. 5.7, а).
Рис. 5.8. Искажения в цилиндрической проекции:
а - равноугольной; б - равнопромежуточной; в - равновеликой
5.6.2. Равнопромежуточные проекции
Равнопромежуточными проекциями называют проекции, у которых масштаб длин одного из главных направлений сохраняется (остается неизменным) (рис. 5.7, Г. рис. 5.7, Д.) Применяются главным образом для создания мелкомасштабных справочных карт и карт звездного неба.
5.6.3. Равновеликие проекции
Равновеликими называются проекции, в которых нет искажений площадей, т. е. площадь фигуры, измеренной на карте, равна площади этой же фигуры на поверхности Земли. В равновеликих картографических проекциях масштаб площади повсюду имеет одну и ту же величину. Это свойство равновеликих проекций можно выразить формулой:
P = a× b = Const = 1 (5.15)Неизбежным следствием равновеликости этих проекций является сильное искажение у них углов и форм, что хорошо поясняют эллипсы искажений (рис. 5.7, A).
5.6.4. Произвольные проекции
К произвольным относятся проекции, в которых имеются искажения длин, углов и площадей. Необходимость использования произвольных проекций объясняется тем, что при решении некоторых задач возникает необходимость в измерении углов, длин и площадей на одной карте. Но ни одна проекция не может быть одновременно и равноугольной, и равнопромежуточной, и равновеликой. Ранее уже говорилось, что с уменьшением изображаемого участка поверхности Земли на плоскости уменьшаются и искажения изображения. При изображении небольших участков земной поверхности в произвольной проекции величины искажений углов, длин и площадей незначительны, и при решении многих задач их можно не учитывать.
5.4. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ ПО ВИДУ НОРМАЛЬНОЙ КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ СЕТКИ
В картографической практике распространена классификация проекций по виду вспомогательной геометрической поверхности, которая может быть использована при их построении. С этой точки зрения выделяют проекции: цилиндрические
, когда вспомогательной поверхностью служит боковая поверхность цилиндра; конические
, когда вспомогательной плоскостью является боковая поверхность конуса; азимутальные
, когда вспомогательная поверхность - плоскость (картинная плоскость).
Поверхности, на которые проектируют земной шар, могут быть к нему касательными или секущими его. Они могут быть и по-разному ориентированы.
Проекции, при построении которых оси цилиндра и конуса совмещались с полярной осью земного шара, а картинная плоскость, на которую проектировалось изображение, размещалась касательно в точке полюса, называются нормальными.
Геометрическое построение названных проекций отличается большой наглядностью.
5.4.1. Цилиндрические проекции
Для простоты рассуждения вместо эллипсоида воспользуемся шаром. Заключим шар в цилиндр, касательный по экватору (рис. 5.9, а).
Рис. 5.9. Построение картографической сетки в равновеликой цилиндрической проекции
Продолжим плоскости меридианов ПА, ПБ, ПВ, ... и примем пересечения этих плоскостей с боковой поверхностью цилиндра за изображение на ней меридианов. Если разрезать боковую поверхность цилиндра по образующей аАа 1
и развернуть ее на плоскость, то меридианы изобразятся параллельными равноотстоящими прямыми линиями аАа 1
, бБб 1
, вВв 1
..., перпендикулярными экватору АБВ.
Изображение параллелей может быть получено различными способами. Один из них - продолжение плоскостей параллелей до пересечения с поверхностью цилиндра, что даст в развертке второе семейство параллельных прямых линий, перпендикулярных меридианам.
Полученная цилиндрическая проекция (рис. 5.9, б) будет равновеликой
, так как боковая поверхность шарового пояса АГЕД, равная 2πRh (где h - расстояние между плоскостями АГ и ЕД), соответствует площади изображения этого пояса в развертке. Главный масштаб сохраняется вдоль экватора; частные масштабы по параллели увеличиваются, а по меридианам уменьшаются по мере удаления от экватора.
Другой способ определения положения параллелей основан на сохранении длин меридианов, т. е. на сохранении главного масштаба вдоль всех меридианов. В этом случае цилиндрическая проекция будет равнопромежуточной по меридианам
(рис. 5.8, б).
Для равноугольной
цилиндрической проекции необходимо в любой точке постоянство масштаба по всем направлениям, что требует увеличения масштаба вдоль меридианов по мере удаления от экватора в соответствии с увеличением масштабов вдоль параллелей на соответствующих широтах (см. рис. 5.8, а).
Нередко вместо касательного цилиндра используют цилиндр, секущий сферу по двум параллелям (рис. 5.10), вдоль которых при развертке сохраняется главный масштаб. В этом случае частные масштабы вдоль всех параллелей между параллелями сечения будут меньше, а на остальных параллелях - больше главного масштаба.
Рис. 5.10. Цилиндр, секущий шар по двум параллелям
5.4.2. Конические проекции
Для построения конической проекции заключим шар в конус, касающийся шара по параллели АБВГ (рис. 5.11, а).
Рис. 5.11. Построение картографической сетки в равнопромежуточной конической проекции
Аналогично предыдущему построению продолжим плоскости меридианов ПА, ПБ, ПВ, ... и примем их пересечения с боковой поверхностью конуса за изображение на ней меридианов. После развертки боковой поверхности конуса на плоскости (рис. 5.11, б) меридианы изобразятся радиальными прямыми ТА, ТБ, ТВ,..., исходящими из точки Т. Обратите внимание на то, что углы между ними (схождение меридианов) будут пропорциональны (но не равны) разностям долгот. Вдоль параллели касания АБВ (дуги окружности радиусом ТА) сохраняется главный масштаб.
Положение других параллелей, изображающихся дугами концентрических окружностей, можно определить из определенных условий, одно из которых - сохранение главного масштаба вдоль меридианов (АЕ = Ае) - приводит к конической равнопромежуточной проекции.
5.4.3. Азимутальные проекции
Для построения азимутальной проекции воспользуемся плоскостью, касательной к шару в точке полюса П (рис. 5.12). Пересечения плоскостей меридианов с касательной плоскостью дают изображение меридианов Па, Пе, Пв,... в виде прямых, углы между которыми равны разностям долгот. Параллели, являющиеся концентрическими окружностями, могут быть определены различным путем, например, проведены радиусами, равными выпрямленным дугам меридианов от полюса до соответствующей параллели ПА = Па. Такая проекция будет равнопромежуточной по меридианам и сохраняет вдоль них главный масштаб.
Рис. 5.12. Построение картографической сетки в азимутальной проекции
Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции, построенные по законам геометрической перспективы. В этих проекциях каждая точка поверхности глобуса переносится на картинную плоскость по лучам, выходящим из одной точки С , называемой точкой зрения. В зависимости от положения точки зрения относительно центра глобуса проекции подразделяются на:
- центральные - точка зрения совпадает с центром глобуса;
- стереографические - точка зрения располагается на поверхности глобуса в точке, диаметрально противоположной точке касания картинной плоскости к поверхности глобуса;
- внешние - точка зрения вынесена за пределы глобуса;
- ортографические - точка зрения вынесена в бесконечность, т. е. проектирование осуществляется параллельными лучами.
Рис. 5.13. Виды перспективных проекций: а - центральная;
б - стереографическая; в - внешняя; г - ортографическая.
5.4.4. Условные проекции
Условные проекции - проекции, для которых нельзя подобрать простых геометрических аналогов. Их строят, исходя из каких-либо заданных условий, например желательного вида географической сетки, того или иного распределения искажений на карте, заданного вида сетки и др. В частности, к условным принадлежат псевдоцилиндрические, псевдоконические, псевдоазимутальные и другие проекции, полученные путем преобразования одной или нескольких исходных проекций.
У псевдоцилиндрических
проекций экватор и параллели - прямые, параллельные друг другу линии (что роднит их с цилиндрическими проекциями), а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана (рис. 5.14)
Рис. 5.14. Вид картографической сетки в псевдоцилиндрической проекции.
У псевдоконических проекций параллели - дуги концентрических окружностей, а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана (рис. 5.15);
Рис. 5.15. Картографическая сетка в одной из псевдоконических проекций
Построение сетки в поликонической проекции можно представить путем проектирования участков градусной сетки глобуса на поверхность нескольких касательных конусов и последующей развертки в плоскость образовавшихся на поверхности конусов полос. Общий принцип такого проектирования показан на рисунке 5.16.
Рис. 5.16. Принцип построения поликонической проекции:
а - положение конусов; б - полосы; в - развертка
Буквами S
на рисунке обозначены вершины конусов. На каждый конус проектируют широтный участок поверхности глобуса, примыкающий к параллели касания соответствующего конуса.
Для внешнего облика картографических сеток в поликонической проекции характерно, что меридианы имеют форму кривых линий (кроме среднего — прямого), а параллели — дуги эксцентрических окружностей.
В поликонических проекциях, используемых для построения мировых карт, приэкваториальный участок проектируют на касательный цилиндр, поэтому на полученной сетке экватор имеет форму прямой линии, перпендикулярной среднему меридиану.
После развертки конусов получают изображение этих участков в виде полос на плоскости; полосы соприкасаются по среднему меридиану карты. Окончательный вид сетка получает после ликвидации разрывов между полосами путем растяжений (рис. 5.17).
Рис. 5.17. Картографическая сетка в одной из поликонических
Многогранные проекции - проекции, получаемые путем проектирования на поверхность многогранника (рис. 5.18), касательного или секущего шар (эллипсоид). Чаще всего каждая грань представляет собой равнобочную трапецию, хотя возможны и иные варианты (например, шестиугольники, квадраты, ромбы). Разновидностью многогранных являются многополосные проекции, причем полосы могут «нарезаться» и по меридианам, и по параллелям. Такие проекции выгодны тем, что искажения в пределах каждой грани или полосы совсем невелики, поэтому их всегда используют для многолистных карт. Топографические и обзорно-топографические создают исключительно в многогранной проекции, и рамка каждого листа представляет собой трапецию, составленную линиями меридианов и параллелей. За это приходится "расплачиваться" - блок листов карт нельзя совместить по общим рамкам без разрывов.
Рис. 5.18. Схема многогранной проекции и расположение листов карт
Необходимо отметить, что в наши дни для получения картографических проекций не пользуются вспомогательными поверхностями. Никто не помещает шар в цилиндр и не надевает на него конус. Это всего лишь геометрические аналогии, позволяющие понять геометрическую суть проекции. Изыскание проекций выполняют аналитически. Компьютерное моделирование позволяет достаточно быстро рассчитать любую проекцию с заданными параметрами, а автоматические графопостроители легко вычерчивают соответствующую сетку меридианов и параллелей, а при необходимости - и карту изокол.
Существуют специальные атласы проекций, позволяющие подобрать нужную проекцию для любой территории. В последнее время созданы электронные атласы проекций, с помощью которых легко отыскать подходящую сетку, сразу оценить ее свойства, а при необходимости провести в интерактивном режиме те или иные модификации или преобразования.
5.5. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОЕКЦИЙ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ОРИЕНТИРОВАНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Нормальные проекции
- плоскость проектирования касается земного шара в точке полюса или ось цилиндра (конуса) совпадает с осью вращения Земли (рис. 5.19).
Рис. 5.19. Нормальные (прямые) проекции
Поперечные проекции - плоскость проектирования касается экватора в какой-либо точке или ось цилиндра (конуса) совпадает с плоскостью экватора (рис. 5.20).
Рис. 5.20. Поперечные проекции
Косые проекции - плоскость проектирования касается земного шара в любой заданной точке (рис. 5.21).
Рис. 5.21. Косые проекции
Из косых и поперечных проекций наиболее часто используют косые и поперечные цилиндрические, азимутальные (перспективные) и псевдоазимутальные проекции. Поперечные азимутальные применяют для карт полушарий, косые - для территорий, имеющих округлую форму. Карты материков часто составляют в поперечных и косых азимутальных проекциях. Поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса - Крюгера применяется для государственных топографических карт.
5.6. ВЫБОР ПРОЕКЦИЙ
На выбор проекций влияет много факторов, которые можно сгруппировать следующим образом:
- географические особенности картографируемой территории, ее положение на Земном шаре, размеры и конфигурация;
- назначение, масштаб и тематика карты, предполагаемый круг потребителей;
- условия и способы использования карты, задачи, которые будут решаться по карте, требования к точности результатов измерений;
- особенности самой проекции - величины искажений длин, площадей, углов и их распределение по территории, форма меридианов и параллелей, их симметричность, изображение полюсов, кривизна линий кратчайшего расстояния.
Первые три группы факторов задаются изначально, четвертая - зависит от них. Если составляется карта, предназначенная для навигации, обязательно должна быть использована равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора. Если картографируется Антарктида, то почти наверняка будет принята нормальная (полярная) азимутальная проекция и т.д.
Значимость названных факторов может быть различной: в одном случае на первое место ставят наглядность (например, для настенной школьной карты), в другом - особенности использования карты (навигация), в третьем - положение территории на земном шаре (полярная область). Возможны любые комбинации, а следовательно - и разные варианты проекций. Тем более что выбор очень велик. Но все же можно указать некоторые предпочтительные и наиболее традиционные проекции.
Карты мира
обычно составляют в цилиндрических, псевдоцилиндрических и поликонических проекциях. Для уменьшения искажений часто используют секущие цилиндры, а псевдоцилиндрические проекции иногда дают с разрывами на океанах.
Карты полушарий
всегда строят в азимутальных проекциях. Для западного и восточного полушарий естественно брать поперечные (экваториальные), для северного и южного полушарий - нормальные (полярные), а в других случаях (например, для материкового и океанического полушарий) — косые азимутальные проекции.
Карты материков
Европы, Азии, Северной Америки, Южной Америки, Австралии с Океанией чаще всего строят в равновеликих косых азимутальных проекциях, для Африки берут поперечные, а для Антарктиды - нормальные азимутальные.
Карты отдельных стран
, административных областей, провинций, штатов выполняют в косых равноугольных и равновеликих конических или азимутальных проекциях, но многое зависит от конфигурации территории и ее положения на земном шаре. Для небольших по площади районов задача выбора проекции теряет актуальность, можно использовать разные равноугольные проекции, имея в виду, что искажения площадей на малых территориях почти неощутимы.
Топографические карты
Украины создают в поперечно-цилиндрической проекции Гаусса, а США и многие другие западные страны - в универсальной поперечно-цилиндрической проекции Меркатора (сокращенно UТМ). Обе проекции близки по своим свойствам; по существу та и другая являются многополостными.
Морские и аэронавигационные карты
всегда даются исключительно в цилиндрической проекции Меркатора, а тематические карты морей и океанов создают в самых разнообразных, иногда довольно сложных проекциях. Например, для совместного показа Атлантического и Северного Ледовитого океанов применяют особые проекции с овальными изоколами, а для изображения всего Мирового океана - равновеликие проекции с разрывами на материках.
В любом случае при выборе проекции, в особенности для тематических карт, следует иметь в виду, что обычно искажения на карте минимальны в центре и быстро возрастают к краям. Кроме того, чем мельче масштаб карты и обширнее пространственный охват, тем большее внимание приходится уделять «математическим» факторам выбора проекции, и наоборот - для малых территорий и крупных масштабов более существенными становятся «географические» факторы.
5.7. РАСПОЗНАВАНИЕ ПРОЕКЦИЙ
Распознать проекцию, в которой составлена карта, - значит установить ее название, определить принадлежность к тому или иному виду, классу. Это нужно для того, чтобы иметь представление о свойствах проекции, характере, распределении и величине искажений - словом, для того, чтобы знать, как пользоваться картой, чего от нее можно ожидать.
Некоторые нормальные проекции сразу распознаются по виду меридианов и параллелей.
Например, легко узнаваемы нормальные цилиндрические, псевдоцилиндрические, конические, азимутальные проекции. Но даже опытный картограф не сразу распознает многие произвольные проекции, потребуются специальные измерения по карте, чтобы выявить их равноугольность, равновеликость или равнопромежуточность по одному из направлений. Для этого существуют особые приемы: сперва устанавливают форму рамки (прямоугольник, окружность, эллипс), определяют, как изображены полюсы, затем измеряют расстояния между соседними параллелями вдоль по меридиану, площади соседних клеток сетки, углы пересечения меридианов и параллелей, характер их кривизны и т.п.
Существуют специальные таблицы-определители проекций
для карт мира, полушарий, материков и океанов. Проведя необходимые измерения по сетке, можно отыскать в такой таблице название проекции. Это даст представление о ее свойствах, позволит оценить возможности количественных определений по данной карте, выбрать соответствующую карту с изоколами для внесения поправок.
Видео
Виды проекций по характеру искажений
Вопросы для самоконтроля:
- Какие элементы составляют математическую основу карты?
- Что называют масштабом географической карты?
- Что называют главным масштабом карты?
- Что называют частным масштабом карты?
- Чем обусловлено отклонение частного масштаба от главного на географической карте?
- Как измерить расстояние между точками на морской карте?
- Что представляет собой эллипс искажений и для каких целей он используется?
- Как можно определить по эллипсу искажений наибольший и наименьший масштабы?
- Какие существует методы переноса поверхности земного эллипсоида на плоскость, в чем их сущность?
- Что называют картографической проекцией?
- Как классифицируют проекции по характеру искажений?
- Какие проекции называют равноугольными, как изобразить эллипс искажений на этих проекциях?
- Какие проекции называют равнопромежуточными, как изобразить эллипс искажений на этих проекциях?
- Какие проекции называют равновеликими, как изобразить эллипс искажений на этих проекциях?
- Какие проекции называют произвольными?
Использование результатов топографо-геодезических работ существенно упрощаются, если эти результаты отнесены к простейшей – прямоугольной системе координат на плоскости. В такой системе координат многие геодезические задачи на небольших участках местности и на картах решаются путем применения простых формул аналитической геометрии на плоскости. Закон изображения одной поверхности на другой называют проекцией. Картографические проекции основаны на формировании специфического отображения параллелей широты и меридианов долготы эллипсоида на некоторую выравниваемую или развертываемую поверхность. В геометрии, как известно, наиболее простыми развертываемыми поверхностями являются плоскость, цилиндр и конус. Это и определило три семейства картографических проекций: азимутальные, цилиндрические и конические . Независимо от выбранного типа преобразований, любое отображение криволинейной поверхности на плоскость влечет за собой ошибки и искажения. Для геодезических проекций предпочитают проекции, обеспечивающие медленное нарастание в них искажений элементов геодезических построений при постепенном увеличении площади проектируемой территории. Особенно важным является требование, чтобы в проекции обеспечивалась высокая точность и удобство учета этих искажений, причем по наиболее простым формулам. Ошибки проекционных преобразований возникают исходя из точности по четырем характеристикам:
равноугольность – истинность формы любого объекта;
равновеликость – равенство площадей;
равнопромежуточность – истинность измерения расстояний;
истинность направлений.
Ни одна из картографических проекций не может обеспечить точность отображений на плоскости по всем перечисленным характеристикам.
По характеру искажений картографические проекции подразделяются на равноугольные, равновеликие и произвольные (в частных случаях равнопромежуточные).
Равноугольными (конформными ) проекциями называют такие, в которых отсутствуют искажения углов и азимутов линейных элементов. Эти проекции сохраняют без искажений углы (например, между севером и востоком всегда угол должен быть прямым) и формы малых объектов, но в них резко деформируются длины и площади. Следует отметить, что сохранение углов для больших территорий труднодостижимо, и этого можно добиться только на небольших участках.
Равновеликими (равноплощадными) проекциями называют проекции, в которых площади соответствующих областей на поверхности эллипсоидов и на плоскости тождественно равны (пропорциональны). В этих проекциях искажены углы и формы объектов.
Произвольные проекции имеют искажения углов, площадей и длин, но эти искажения распределены по карте таким образом, что они минимальны в центральной части и возрастают на периферии. Частным случаем произвольных проекций являются равнопромежуточные (эквидистантные) , в которых искажения длин отсутствуют по одному из направлений: вдоль меридиана или вдоль параллели.
Равнопромежуточными называют проекции, сохраняющие длину по одному из главных направлений. Как правило, это проекции с ортогональной картографической сеткой. В этих случаях главными являются направления вдоль меридманов и параллелей. Соответственно определяются равнопромежуточные проекции вдоль одного из направлений. Второй способ построения таких проекций заключается в сохранении единичного масштабного коэффициента вдоль всех направлений из одной точки, либо из двух. Расстояния, измеренные из таких точек, будут точно соответствовать реальным, но для любых других точек это правило не будет действовать. В случае выбора такого вида проекции очень важен выбор точек. Обычно предпочтение отдают точкам, из которых производится наибольшее количество измерений.
а) конические | |
б) цилиндрические | |
в) азимутальные |
Рисунок 11. Классы проекций по способу построения
Равноазимутальные проекции чаще всего используются в навигации, т.е. когда наибольший интерес представляет сохранение направлений. Аналогично равновеликой проекции, сохранение истинных направлений возможно лишь для одной или двух определенных точек. Прямые линии, проведенные только из этих точек, будут соответствовать истинным направлениям.
По способу построения (развертывания поверхности на плоскость) выделяют три больших класса проекций: конические (а), цилиндрические (б) и азимутальные (в).
Конические проекции образуются на основе проектирования земной поверхности на боковую поверхность конуса, определенным образом ориентированного относительно эллипсоида. В прямых конических проекциях оси земного шара и конуса совпадают, при этом выбирается секущий или касательный конус. После проектирования боковая поверхность конуса разрезается по одной из образующих и развертывается в плоскость. В зависимости от размеров изображаемой площади в конических проекциях принимаются одна или две параллели, вдоль которых сохраняются длины без искажений. Одна параллель (касательная) принимается при небольшом протяжении по широте: две параллели (секущие) при большом протяжении для уменьшения отклонений масштабов от единицы. Такие параллели называют стандартными. Особенностью конических проекций является то, что их центральные линии совпадают со средними параллелями. Следовательно, конические проекции удобны для изображения территорий, расположенных в средних широтах и значительно вытянутых по долготе. Именно поэтому многие карты бывшего Советского Союза составлены в этих проекциях.
Цилиндрические проекции образуются на основе проектирования земной поверхности на боковую поверхность цилиндра, определенным образом ориентированного относительно земного эллипсоида. В прямых цилиндрических проекциях параллели и меридианы изображены двумя семействами прямых параллельных линий, перпендикулярных друг другу. Таким образом, задается прямоугольная сетка цилиндрических проекций. Цилиндрические проекции можно рассматривать как частный случай конических, когда вершина конуса отнесена в бесконечность (=0). Существуют разные способы образования цилиндрических проекций. Цилиндр может быть касательным к эллипсоиду или секущим его. В случае использования касательного цилиндра точность измерения длин выдержана по экватору. Если используется секущий цилиндр – по двум стандартным параллелям, симметричным относительно экватора. Применяются прямые, косые и поперечные цилиндрические проекции, в зависимости от расположения изображаемой области. Цилиндрические проекции применяют при составлении карт мелких и крупных масштабов.
Азимутальные проекции образуются путем проектирования земной поверхности на некоторую плоскость, определенным образом ориентированную относительно эллипсоида. В них параллели изображаются концентрическими окружностями, а меридианы – пучком прямых, исходящих из центра окружности. Углы между меридианами проекций равны соответствующим разностям долгот. Промежутки между параллелями определяются принятым характером изображения (равноугольным или другим). Нормальная сетка проекции ортогональна. Азимутальные проекции можно рассматривать как частный случай конических проекций, в которых =1.
Применяются прямые, косые и поперечные азимутальные проекции, что определяется широтой центральной точки проекции, выбор которой, в свою очередь, зависит от расположения территории. В зависимости от искажений азимутальные проекции подразделяются как равноугольные, равновеликие и с промежуточными свойствами.
Существует большое разнообразие проекций: псевдоцилиндрические, поликонические, псевдоазимутальные и другие. От правильного выбора картографической проекции зависит возможность условий оптимального решения поставленных задач. Выбор проекций обусловлен многими факторами, которые условно можно объединить в три группы.
Первая группа факторов характеризует объект картографирования с точки зрения географического положения исследуемой территории, ее размеров, конфигурации, значимости отдельных ее частей.
Вторая группа включает факторы, характеризуемые создаваемую карту. В эту группу входят содержание и назначение карты в целом, способы и условия ее использования при решении задач ГИС, требования к точности их решения.
К третьей группе относятся факторы, которые характеризуют получаемую картографическую проекцию. Это условие обеспечения минимума искажений, допустимые максимальные величины искажений, характер их распределения, кривизна изображения меридианов и параллелей.
Выбор картографических проекций предлагается осуществлять в два этапа.
На первом этапе устанавливается совокупность проекций с учетом факторов первой и второй групп. При этом необходимо чтобы центральные линии или точки проекций, вблизи которых масштабы мало изменяются, находились в центре исследуемой территории, а центральные линии совпадали, по возможности, с направлением наибольшего распространения этих территорий. На втором этапе определяют искомую проекцию.
Рассмотрим выбор различных проекций в зависимости от расположения исследуемой территории. Азимутальные проекции выбирают, как правило, для изображения территорий полярных областей. Цилиндрические проекции предпочтительны для территорий, расположенных вблизи и симметрично относительно экватора и вытянутых по долготе. Конические проекции следует использовать для таких же территорий, но не симметричных относительно экватора или расположенных в средних широтах.
Для всех проекций выбранной совокупности по формулам математической картографии вычисляют частные масштабы и искажения. Предпочтение следует отдать, естественно, той проекции, которая имеет наименьшие искажения, более простой вид картографической сетки, а при равных условиях – более простой математический аппарат проекции. Рассматривая возможность использования равновеликих проекций, следует учитывать размер интересующей площади, а также величину и распределение угловых искажений, Небольшие участки отображаются с гораздо меньшими угловыми искажениями при использовании равновеликих проекций, что может быть полезно, когда значение имеют площадь и формы объектов. В случае, когда решают задачу определения наикратчайших расстояний лучше использовать проекции, не искажающие направления. Выбор проекции – один из основных процессов создания ГИС.
При решении задач картографирования в недропользовании на территории России наиболее часто используются две проекции, описанные ниже.
Видоизмененная простая поликоническая проекция применяется как многогранная, т.е. каждый лист определяется в своем варианте проекции.
Рисунок12. Номенклатурные трапеции листов масштаба 1:200000 в поликонической проекции
Особенности видоизмененной простой поликонической проекции и распределение искажений в пределах отдельных листов миллионного масштаба следующие:
все меридианы изображаются прямыми линиями, отсутствуют искажения длин на крайних параллелях и на меридианах, отстоящих от среднего на ±2º,
крайние параллели каждого листа (северная и южная) являются дугами окружностей, центры этих параллелей находятся на среднем меридиане, длина их не искажается, средние параллели определяются пропорциональным делением по широте вдоль прямолинейных меридианов,
Земная поверхность, принимаемая за поверхность эллипсоида, делится линиями меридианов и параллелей на трапеции. Трапеции изображаются на отдельных листах в одной и той же проекции (для карты масштаба 1: 1 000 000 в видоизмененной простой поликонической). Листы Международной карты мира масштаба 1: 1 000 000 имеют определенные размеры трапеций – по меридианам 4 градуса, по параллелям 6 градусов; на широте от 60 до 76 градуса листы сдваивают, они имеют размеры по параллелям 12; выше 76 градуса объединяют четыре листа и их размер по параллелям составляет 24 градуса.
Применение проекции как многогранной неизбежно связано с введением номенклатуры, т.е. системы обозначения отдельных листов. Для карты миллионного масштаба принято обозначение трапеций по широтным поясам, где в направлении от экватора к полюсам обозначение осуществляется буквами латинского алфавита (A,B,C и т.д.) и по колоннам арабскими цифрами, которые считают от меридиана с долготой 180 (по Гринвичу) против часовой стрелки. Лист, на котором расположен г. Екатеринбург, например, имеет номенклатуру О-41.
Рисунок 13. Номенклатурное деление территории России
Достоинством видоизмененной простой поликонической проекции, примененной как многогранная, является небольшая величина искажений. Анализ в пределах листа карты показал, что искажения длин не превышают 0.10%, площади 0.15%, углов 5´ и являются практически не ощутимыми. Недостатком этой проекции считают появление разрывов при соединении листов по меридианам и параллелям.
Конформная (равноугольная) псевдоцилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера. Для применения такой проекции поверхность земного эллипсоида делят на зоны, заключенные между двумя меридианами с разностью долгот 6 или 3 градуса. Меридианы и параллели изображаются кривыми, симметричными относительно осевого меридиана зоны и экватора. Осевые меридианы шестиградусных зон совпадают с центральными меридианами листов карты масштаба 1: 1 000 000. Порядковый номер определяется по формуле
где N – номер колонны листа карты масштаба 1: 1 000 000.
Долготы осевых меридианов шестиградусных зон определяются по формуле
L 0 = 6n – 3, где n - номер зоны.
Прямоугольные координаты x и y в пределах зоны вычисляются относительно экватора и осевого меридиана, которые изображаются прямыми линиями
Рисунок 14. Конформная псевдоцилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера
В пределах территории бывшего СССР абсциссы координат Гаусса-Крюгера положительные; ординаты положительные к востоку, отрицательные к западу от осевого меридиана. Чтобы избежать отрицательных значений ординат, точкам осевого меридиана условно придают значение y = 500 000 м с обязательным указанием впереди номера соответствующей зоны. Например, если точка находится в зоне с номером 11 в 25 075м к востоку от осевого меридиана, то значение ее ординаты записывается так: y = 11 525 075 м: если точка расположена к западу от осевого меридиана этой зоны на таком же расстоянии, то y = 11 474 925 м.
В конформной проекции углы треугольников триангуляции не искажаются, т.е. остаются такими же, как на поверхности земного эллипсоида. Масштаб изображения линейных элементов на плоскости постоянен в данной точке и не зависит от азимута этих элементов: линейные искажения на осевом меридиане равны нулю и постепенно возрастают по мере удаления от него: на краю шестиградусной зоны они достигают максимальной величины.
Во странах западного полушария применяют для составления топографических карт универсальную поперечно-цилиндрическую проекцию Меркатора (UTM) в шестиградусных зонах. Эта проекция близка по своим свойствам и распределению искажений к проекции Гаусса-Крюгера, но на осевом меридиане каждой зоны масштаб m=0.9996, а не единица. Проекция UTM получается двойным проектированием - эллипсоида на шар, а затем шара на плоскость в проекции Меркатора.
Рисунок 15. Преобразование координат в геоинформационных системах
Наличие в ГИС программного обеспечения, осуществляющего проекционные преобразования, позволяет легко перевести данные из одной проекции в другую. Такое бывает необходимо, если полученные исходные данные существуют в проекции, не совпадающей с выбранной в вашем проекте или нужно изменить проекцию данных проекта для решения какой-либо специфической задачи. Переход из одной проекции в другую носит название проекционных преобразований. Существует возможность перевода координат цифровых данных, изначально введенных в условных координатах дигитайзера или растровой подложки с помощью преобразований плоскости.
Каждый пространственный объект кроме пространственной привязки обладает некоторой содержательной сущностью, и в следующей главе рассмотрим возможности описания ее.